versão original de esta história apareceu em Revista Quanta.
Parado no meio de um campo, é fácil esquecer que vivemos num planeta redondo. Somos tão pequenos em comparação com a Terra que ela parece plana da nossa perspectiva.
O mundo está cheio dessas formas. São formas que parecem planas para as formigas que vivem nelas, embora tenham uma estrutura geral mais complexa. Os matemáticos chamam essas formas de variedades. As variedades, introduzidas por Bernhard Riemann em meados do século XIX, mudaram a forma como os matemáticos pensavam sobre o universo. Não era mais apenas um cenário físico de outros objetos matemáticos, mas um objeto abstrato e bem definido que merecia ser estudado por si só.
Esta nova perspectiva permitiu aos matemáticos explorar rigorosamente espaços de alta dimensão, levando ao nascimento da topologia moderna, um campo dedicado ao estudo de espaços matemáticos como variedades. As variedades também passaram a ocupar um papel central em campos como geometria, sistemas dinâmicos, análise de dados e física.
Hoje, eles fornecem aos matemáticos um vocabulário comum para resolver todos os tipos de problemas. Eles são tão fundamentais para a matemática quanto o alfabeto é para a linguagem. “Se eu conhecer o alfabeto cirílico, poderei entender russo?” ele disse. Fabrício BianchiMatemático pela Universidade de Pisa, Itália. “Não, mas tente aprender russo em vez de aprender cirílico.”
Então, o que é uma variedade e que tipo de vocabulário ela fornece?
ideias tomam forma
Durante milhares de anos, a geometria significou o estudo de objetos no espaço euclidiano, o espaço plano que vemos ao nosso redor. “Até o século XIX, ‘espaço’ significava ‘espaço físico’”, diz José Ferreiros, filósofo da ciência da Universidade de Sevilha, em Espanha. Isso é análogo a uma linha em uma dimensão e a um plano em duas dimensões.
No espaço euclidiano, as coisas se comportam conforme o esperado. A distância mais curta entre quaisquer dois pontos é uma linha reta. Os ângulos de um triângulo somam 180 graus. As ferramentas de cálculo são confiáveis e bem definidas.
Mas no início do século XIX, alguns matemáticos começaram a explorar outros tipos de espaços geométricos: espaços que não eram planos, mas curvos, como uma esfera ou uma sela. Nestes espaços, linhas paralelas podem eventualmente se cruzar. Os ângulos de um triângulo podem somar mais ou menos que 180 graus. E fazer cálculo pode ser muito menos fácil.
A comunidade matemática tem tido dificuldade em aceitar (ou mesmo compreender) esta mudança no pensamento geométrico.
No entanto, alguns matemáticos tentaram levar essas ideias adiante. Um deles era Bernhard Riemann, um jovem tímido que planejava estudar teologia – seu pai era pastor – antes de se sentir atraído pela matemática. Em 1849, decidiu fazer doutorado sob a orientação de Karl Friedrich Gauss. Gauss estudou as propriedades inerentes de curvas e superfícies, independentemente do espaço circundante.
